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Infogramme est le site de Vincent Audette-Chapdelaine.

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15 juillet 2009

L’aire des rectangles – Épisode 2: La constance du ratio

Ce billet fait suite à la discussion entamée ici autour de la fascinante question qu’est l’aire des rectangles à diagonale fixe.

Dans les commentaires du précédent billet sur cette question hautement sous-exploitée dans les médias traditionnels qu’est l’aire des rectangles, Francis soutient, de «source sûre», que «pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu’un écran traditionnel (4:3).». Or cette source, tout autant sûre qu’elle soit, n’a pas été en mesure de lui faire la preuve que ce pourcentage sera constant peut importe la valeur de la diagonale en question.

Voici donc une explication en bonne et due forme.

Considérons toujours un rectangle de dimensions a x b, de diagonale d et d’aire A. Explicitons l’aire de deux rectangles dont le ratio des côtés sont respectivement 16:9 et 4:3. On a donc, pour chacun des rectangle :

\frac{b_1}{a_1} = \frac{16}{9}

\frac{b_2}{a_2} = \frac{4}{3}

D’où

b_1= \frac{16}{9}a_1

b_2= \frac{4}{3}a_2

L’aire du rectangle 1 est donc

A_1 = a_1 b_1

= \frac{16}{9}a_1^2

et celle du rectangle 2 est

A_2 = \frac{4}{3}a_2^2

Le ratio entre les deux aires est

\frac{A_2}{A_1} = \frac{\frac{4}{3}a_2^2}{\frac{16}{9}a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

Maintenant, on sait que la diagonale est la même entre les deux rectangles, donc, du théorême de Pythagore, ont peut dire que:

a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2

En utilisant les ratios propre à chacun des rectangles, et en substituant pour b, on a:

a_1^2 + (\frac{16}{9}a_1)^2 = a_2^2 + (\frac{4}{3}a_2)^2

Que l’on peut réduire à:

\frac{337}{81}a_1^2 = \frac{25}{9}a_2^2

a_1^2 = \frac{225}{337}a_2^2

On peut maintenant reprendre notre ratio \frac{A_2}{A_1} et substituer pour a_1^2:

\frac{A_2}{A_1} = \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4(\frac{225}{337}a_2^2)}

= \frac{3*337}{4*225}

= \frac{1011}{900}

= 112.33 \%

L’aire de l’écran 4:3 est donc 12,3% plus grande que l’aire de l’écran 16:9. Et, pour être tout à fait rigoureux, l’écran 16:9 est non pas 12,3% mais bien 9,98% plus petite que l’écran 4:3. Peu importe comment on présente le résultat, il demeure que dans tous les cas, ce pourcentage ne dépend pas de la largeur de la diagonale (ce n’est pas surprenant: un rectangle est un rectangle, qu’il soit grand ou petit). QED.

14 juillet 2009

L’aire des rectangles

De retour de voyage, un message m’attend:

(bip bip…) Allo Vincent, c’est Sylvain.

Je sais que tu es à Seattle, mais c’est pas grave, tu me répondras quand tu reviendras. Je suis chez Francis et on a une question existentielle d’ordre mathématique. Quand on a un écran qu’on mesure en nombre de pouces et qu’on calcule la diagonale, si l’écran est rectangle plutôt que carré, est-ce que ça implique que plus l’écran est rectangle, plus il a une petite aire pour une même diagonale, parce qu’un carré aurait une plus grande aire pour une même diagonale?

Voilà, c’est une question élémentaire de mathématique, mais on ne connaît pas la réponse et on se disait que tu la connaîtrais sûrement. À ton retour de Seattle, j’espère que ça sera ta première priorité de répondre à notre question.

Merci et j’espère que tu passe un bon voyage.

Bye bye. (bip bip…)

Salut Sylvain,

Merci pour ta question, qui s’est aussitôt imposée comme étant mon unique centre d’intérêt depuis mon arrivée de l’aéroport, il y a deux jours.

Je comprends tout à fait d’où peuvent provenir vos interrogations, à Francis et toi. L’achat d’un écran est un événement important que l’on gagne à soigneusement préparer. Il est tout à fait louable de vouloir connaître la surface véritable qu’un écran occupe, indépendamment de sa «diagonale», une donnée qui n’évoque absolument rien dans notre imagination. Tout comme vous, je préférerais grandement acheter mes écrans au mètre carré.

Voici ma réponse:

Soit un rectangle de dimensions a par b et de diagonale d. D’après le théorême de Pythagore, on sait que

d^2 = a^2 + b^2

et donc que

 a = \sqrt{d^2 - b^2}

L’aire du rectangle est

A = ba

En substituant pour a, on obtient

A = b \sqrt{d^2 - b^2}

On peut déjà voir, dans cette équation, que l’aire ne dépend pas que de la diagonale, mais bien aussi de la longueur des côtés. Afin d’avoir une meilleure idée de ce comportement, on peut dresser un graphique de la fonction A(b).

Voici donc l’aire du rectangle (ordonnée) en fonction de la longueur du côté b (abscisse) pour une diagonale fixe.

Aire en fonction de la longueur d'un côté, pour une diagonale fixe

On peut voir sur ce graphique que l’aire sera maximale lorsque b = a, donc lorsque l’écran sera un carré. Pour répondre à la question, plus le rectangle est rectangle, (donc plus | a - b | est élevé), plus son aire sera petite.

D’après le graphique, on peut voir que, étrangement, lorsque b augmente par rapport à a, son aire diminue plus rapidement que lorsque b diminue par rapport à a. Pourtant, a et b devraient être complètement interchangeables dans nos équations et sur le graphique. Comment expliquer cette apparente asymétrie?

27 novembre 2008

Du cercle à la ligne

Ce vidéo intitulé «Chebyshev’s Foot-Stepping Machine», de Nikolai Andreev, illustre bien le fonctionnement de la liaison mécanique de Tchebychev, un mathématicien Russe du 19e siècle. Illustrée dès le premier plan du film, la liaison de Tchebychev permet de transformer un mouvement rotatif en un mouvement linéaire.

Plus tard dans le film, on voit comment le mécanisme est utilisé dans ce qui est appelé le «Cheval de Tchebychev», une machine à quatre pattes avançant linéairement tout en maintenant une plateforme à hauteur constante, le tout étant propulsé par un mouvement initial circulaire.

Une belle alternative à nos bonnes vieilles roues.

22 octobre 2008

Immersion: de la quatrième dimension à la troisième, en passant par le Web

Bouteille de Klein

Le 20 août 2003, Clifford Stoll terminait sa plus ambitieuse création: une bouteille de vitre d’un mètre de haut, le fruit de deux années de préparation et de travail. Pas facile de souffler une bouteille qui n’a aucun volume et n’a qu’un seul côté.

Ces 15 kg de verre forment une bouteille de Klein, ou plus précisément l’immersion tridimensionnelle d’une bouteille de Klein, un objet mathématique qui n’existe que dans un espace à quatre dimensions et qui possède des propriétés étonnantes. Comme le dit lui-même Clifford Stoll, « Cela chatouille les topologistes et amuse les visiteurs ».

Père au foyer et résident d’Oakland, Californie, Clifford Stoll souffle des bouteilles de Klein et les vends sur le Web depuis 1996. En plus d’avoir un volume nul, les bouteilles de Klein ont la propriété de n’avoir qu’un seul côté. Autrement dit, il est impossible de définir une frontière entre un intérieur et un extérieur. Une fourmi pourrait se promener sur toute la surface sans jamais devoir franchir le rebord de la vitre. En fait, si on découpe l’objet en suivant une certaine trajectoire, on obtient deux bandes de Möbius, cette fameuse surface fermée qui a notamment inspiré le logo universel des matériaux recyclables.

De son côté, Alan Bennett, un verrier anglais, commence à souffler des bouteilles de Klein en 1995. Bennett a choisi de pousser l’expérience un cran plus loin que ne l’a fait Stoll, se donnant l’objectif d’obtenir des bouteilles qui peuvent se découper en trois bandes de Möbius.

Tenez-vous bien: il y parvient. Le résultat, une bouteille qui s’auto-intersecte trois fois, sera nommé « Vaisseau d’Ouslam », en l’honneur, nous apprend Bennett, d’un « oiseau mythologique qui tourne en rond en traçant des cercles de plus en plus petits, jusqu’à ce qu’il disparaisse dans son propre derrière ».

Clifford Stoll ne fait pas que souffler du verre sur sa propriété d’Oakland. Astrophysicien de formation, il s’est rendu célèbre dans les années 1980 pour être parvenu à piéger Markus Hess, un pirate informatique allemand employé par le KGB pour espionner le gouvernement américain.

Clifford Stoll travaille à cette époque comme administrateur du système informatique du Lawrence Berkeley Laboratory. Alors qu’il tente de résoudre un problème informatique, il détecte une présence suspecte dans le réseau. Que faire?

C’est en prenant leur douche que Clifford Stoll et sa femme élaborent une stratégie qui mènera à l’arrestation du pirate. Leur ruse: inclure sur le réseau du laboratoire une série de faux documents militaires et localiser l’intru alors qu’il tente de les consulter.

Cette tactique sera nommée « Operation Showerhead ».

Dix ans plus tard, en plein boom d’Internet, alors qu’autour de lui s’enrichissent toute une génération de jeunes informaticiens californiens, Clifford Stoll commence à vendre des bouteilles de Klein pour arrondir ses fins de mois.

C’est à cette époque qu’il remet publiquement en question, notamment à travers son livre Silicon Snake Oil, le rôle bénéfique d’Internet pour les sociétés futures. Dans The Internet? Bah!, un article publié en 1995 dans Newsweek, il se montre même sceptique vis-à-vis des promesses du Web de pouvoir transformer les habitudes des consommateurs.

S’il était sceptique en 1995 que les consommateurs allaiant vraiment acheter des livres et des journaux en ligne, il doit aujourd’hui reconnaître qu’il est possible d’y acheter pratiquement n’importe quoi: des livres, des journaux… et même des immersions 3D de bouteilles à quatre dimensions.