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Infogramme est le site de Vincent Audette-Chapdelaine.

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15 juillet 2009

L’aire des rectangles – Épisode 2: La constance du ratio

Ce billet fait suite à la discussion entamée ici autour de la fascinante question qu’est l’aire des rectangles à diagonale fixe.

Dans les commentaires du précédent billet sur cette question hautement sous-exploitée dans les médias traditionnels qu’est l’aire des rectangles, Francis soutient, de «source sûre», que «pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu’un écran traditionnel (4:3).». Or cette source, tout autant sûre qu’elle soit, n’a pas été en mesure de lui faire la preuve que ce pourcentage sera constant peut importe la valeur de la diagonale en question.

Voici donc une explication en bonne et due forme.

Considérons toujours un rectangle de dimensions a x b, de diagonale d et d’aire A. Explicitons l’aire de deux rectangles dont le ratio des côtés sont respectivement 16:9 et 4:3. On a donc, pour chacun des rectangle :

\frac{b_1}{a_1} = \frac{16}{9}

\frac{b_2}{a_2} = \frac{4}{3}

D’où

b_1= \frac{16}{9}a_1

b_2= \frac{4}{3}a_2

L’aire du rectangle 1 est donc

A_1 = a_1 b_1

= \frac{16}{9}a_1^2

et celle du rectangle 2 est

A_2 = \frac{4}{3}a_2^2

Le ratio entre les deux aires est

\frac{A_2}{A_1} = \frac{\frac{4}{3}a_2^2}{\frac{16}{9}a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

Maintenant, on sait que la diagonale est la même entre les deux rectangles, donc, du théorême de Pythagore, ont peut dire que:

a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2

En utilisant les ratios propre à chacun des rectangles, et en substituant pour b, on a:

a_1^2 + (\frac{16}{9}a_1)^2 = a_2^2 + (\frac{4}{3}a_2)^2

Que l’on peut réduire à:

\frac{337}{81}a_1^2 = \frac{25}{9}a_2^2

a_1^2 = \frac{225}{337}a_2^2

On peut maintenant reprendre notre ratio \frac{A_2}{A_1} et substituer pour a_1^2:

\frac{A_2}{A_1} = \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4(\frac{225}{337}a_2^2)}

= \frac{3*337}{4*225}

= \frac{1011}{900}

= 112.33 \%

L’aire de l’écran 4:3 est donc 12,3% plus grande que l’aire de l’écran 16:9. Et, pour être tout à fait rigoureux, l’écran 16:9 est non pas 12,3% mais bien 9,98% plus petite que l’écran 4:3. Peu importe comment on présente le résultat, il demeure que dans tous les cas, ce pourcentage ne dépend pas de la largeur de la diagonale (ce n’est pas surprenant: un rectangle est un rectangle, qu’il soit grand ou petit). QED.

14 juillet 2009

L’aire des rectangles

De retour de voyage, un message m’attend:

(bip bip…) Allo Vincent, c’est Sylvain.

Je sais que tu es à Seattle, mais c’est pas grave, tu me répondras quand tu reviendras. Je suis chez Francis et on a une question existentielle d’ordre mathématique. Quand on a un écran qu’on mesure en nombre de pouces et qu’on calcule la diagonale, si l’écran est rectangle plutôt que carré, est-ce que ça implique que plus l’écran est rectangle, plus il a une petite aire pour une même diagonale, parce qu’un carré aurait une plus grande aire pour une même diagonale?

Voilà, c’est une question élémentaire de mathématique, mais on ne connaît pas la réponse et on se disait que tu la connaîtrais sûrement. À ton retour de Seattle, j’espère que ça sera ta première priorité de répondre à notre question.

Merci et j’espère que tu passe un bon voyage.

Bye bye. (bip bip…)

Salut Sylvain,

Merci pour ta question, qui s’est aussitôt imposée comme étant mon unique centre d’intérêt depuis mon arrivée de l’aéroport, il y a deux jours.

Je comprends tout à fait d’où peuvent provenir vos interrogations, à Francis et toi. L’achat d’un écran est un événement important que l’on gagne à soigneusement préparer. Il est tout à fait louable de vouloir connaître la surface véritable qu’un écran occupe, indépendamment de sa «diagonale», une donnée qui n’évoque absolument rien dans notre imagination. Tout comme vous, je préférerais grandement acheter mes écrans au mètre carré.

Voici ma réponse:

Soit un rectangle de dimensions a par b et de diagonale d. D’après le théorême de Pythagore, on sait que

d^2 = a^2 + b^2

et donc que

 a = \sqrt{d^2 - b^2}

L’aire du rectangle est

A = ba

En substituant pour a, on obtient

A = b \sqrt{d^2 - b^2}

On peut déjà voir, dans cette équation, que l’aire ne dépend pas que de la diagonale, mais bien aussi de la longueur des côtés. Afin d’avoir une meilleure idée de ce comportement, on peut dresser un graphique de la fonction A(b).

Voici donc l’aire du rectangle (ordonnée) en fonction de la longueur du côté b (abscisse) pour une diagonale fixe.

Aire en fonction de la longueur d'un côté, pour une diagonale fixe

On peut voir sur ce graphique que l’aire sera maximale lorsque b = a, donc lorsque l’écran sera un carré. Pour répondre à la question, plus le rectangle est rectangle, (donc plus | a - b | est élevé), plus son aire sera petite.

D’après le graphique, on peut voir que, étrangement, lorsque b augmente par rapport à a, son aire diminue plus rapidement que lorsque b diminue par rapport à a. Pourtant, a et b devraient être complètement interchangeables dans nos équations et sur le graphique. Comment expliquer cette apparente asymétrie?

10 décembre 2008

La dynamique du vote stratégique

Si elle veut retourner à l’opposition, l’ADQ aurait tout avantage à souhaiter que la population québécoise diminue. C’est ce qu’on peut déduire d’un article scientifique publié hier, qui tombe particulièrement à propos dans le contexte de l’élection québécoise d’avant-hier. Des physiciens américains et britanniques expliquent, à partir de principes relevant de la physique des systèmes complexes, pourquoi le pouvoir des démocraties parlementaires se partage souvent entre deux partis importants qui gouvernent à tour de rôle, laissant peu de place à la percée d’un tiers parti.

L’étude de D. Volovik, M. Mobilia et S. Redner, Dynamics of Strategic Three-Choice Voting, a été déposée sur l’archive ouverte des physiciens arXiv, moins de 24h après l’annonce des résultats de l’élection provinciale québécoise, qui a rétabli le Parti québécois à l’opposition, reléguant l’Action démocratique du Québec (ADQ) au troisième rang qu’elle a connu depuis sa fondation en 1994, exception faite des derniers 18 mois.

La difficulté de s’extirper du troisième rang s’explique par la réalité du vote stratégique. On sait que ceux qui supportent les partis minoritaires votent parfois pour leur parti, et parfois stratégiquement pour un des deux partis principaux, «contre le parti qu’ils aiment le moins». Les auteurs de l’étude ont inclus ce phénomène dans le modèle d’une population où les membres peuvent occuper un de trois états idéologiques distincts. Ils ont fait évoluer ce système en y introduisant un biais qui défavorise la position idéologique minoritaire, ce biais représentant justement le vote stratégique.

Selon les observations des physiciens, les tiers partis ne sont pas destinés à être continuellement confinés au troisième rang. Ils peuvent être soudainement propulsés au pouvoir ou à l’opposition en raison de fluctuations stochastiques qui déstabilisent le système. Ce sont là des événements imprévus et aléatoires, certainement courants en politique réelle.

L’étude montre que les chances de se tirer de son statut minoritaire sur la base de ces variations aléatoires diminue plus la population d’électeurs est grande. Cela explique peut-être pourquoi le Nouveau parti démocratique n’est jamais parvenu à devenir le parti d’opposition du Canada, alors qu’il forme le gouvernement du Manitoba et est à l’opposition dans trois autres provinces. Et cela explique peut-être aussi la montée fulgurante de l’ADQ en 2007, qui aurait été tirée stochastiquement de son état stable de troisième parti, avant de le regagner, tête basse, avant-hier.

27 novembre 2008

Du cercle à la ligne

Ce vidéo intitulé «Chebyshev’s Foot-Stepping Machine», de Nikolai Andreev, illustre bien le fonctionnement de la liaison mécanique de Tchebychev, un mathématicien Russe du 19e siècle. Illustrée dès le premier plan du film, la liaison de Tchebychev permet de transformer un mouvement rotatif en un mouvement linéaire.

Plus tard dans le film, on voit comment le mécanisme est utilisé dans ce qui est appelé le «Cheval de Tchebychev», une machine à quatre pattes avançant linéairement tout en maintenant une plateforme à hauteur constante, le tout étant propulsé par un mouvement initial circulaire.

Une belle alternative à nos bonnes vieilles roues.

24 novembre 2008

Dans un film, inverser le temps et l'espace

Extrait d’une compilation de films réalisés par Martin Reinhart en 2005 pour un défilé de mode parisien. Cet extrait utilise la technique TX-Transform, développée par Reinhart entre 1992 et 1998, et que je décris ci-bas.

L’artiste multidisciplinaire Martin Reinhart et le cinéaste Virgil Widrich présentaient en 1998 leur nouveau court-métrage, TX-Transform, lors du festival Ars Electronica de Linz, en Autriche. Ce film, l’histoire d’un meurtre, est en fait un prétexte pour présenter un effet cinématographique surprenant développé par Reinhart dès 1992.

En 2001, Martin Reinhart et Virgil Widrich étaient invités à Montréal pour présenter leur technique et animer une discussion, dans le cadre du Festival du nouveau cinéma et des nouveaux médias (FCMM, aujourd’hui FNC). J’étais présent lors de cette soirée à titre de journaliste pour le journal étudiant de mon cégep, Le MotDit.

La méthode utilisée par Reinhart et Widrich consiste à inverser, dans un film, les axes du temps et de l’espace. Les efforts conceptuels que demandait la compréhension d’un tel procédé parvint à fasciner l’étudiant en sciences pures que j’étais. Tellement, en fait, que j’écrivis deux articles sur le sujet, dont un, publié en mai 2002, tentait tant bien que mal de vulgariser le concept. Mon explication faisait plus de 1000 mots et manquait toujours de clarté. Six ans plus tard, je vais tenter de faire mieux…

N’hésitez pas à me faire savoir, dans les commentaires, si certains aspects de l’explication qui suit méritent d’être éclaircis. Il serait aussi intéressant de discuter des applications potentielles, autres que pour en mettre plein la vue dans des vidéoclips…

Exemple pour un film à trois plans

Considérons d’abord l’exemple d’un film composé de seulement trois plans, et montrant un cheval en mouvement (fig. 1).

Fig. 1 — Inversion en quatre étapes de l’axe du temps et de l’espace pour un film à trois plans, selon la technique TX-Transform. Les couleurs ne servent qu’à suivre chacune des bandes d’une étape à l’autre. Les photographies ont été prses par Eadweard Muybridge en 1872, pour son étude Horse in Motion. Ce montage (et les autres) a été produit par moi-même, pour les besoins de la démonstration.

Pour transformer ce film à trois plans, TX-Transform suit ces quatre étapes:

  1. On constate d’abord que le film est composé de trois images.
  2. Puisque le film est composé de trois images, divisons chacune des images en trois bandes verticales de même largeur.
  3. Réorganisons les bandes de manière à regrouper les trois bandes de gauche, les trois bandes du centre et les trois bandes de droite.
  4. Une fois assemblées dans cet ordre, ces bandes forment trois nouvelles images, celles du film «transformé».

En quoi cela consiste-t-il à inverser les axes du temps et de l’espace, vous demandez-vous? La réponse se trouve dans l’explication générale qui suit et dans mes observations, plus bas.

Explication générale

Considérons maintenant la situation générale d’un film qui dure n secondes et qui a été tourné à p images par secondes. Reprenons les mêmes étapes que précédemment.

  1. Lorsqu’un film est diffusé, une collection d’images fixes défilent une à la suite de l’autre, et nous percevons une animation. Si chaque seconde du film est composée de p images, alors chaque image doit nous être présentée pendant un intervalle de 1/p secondes. (Au cinéma, p est généralement égal à 24, mais il existe d’autres conventions). Si le film dure n secondes, il est donc composé de np images qui correspondent à différents instants dans le film. À chacune de ces images, on peut associer un temps t qui correspond à l’instant où a été capturée l’image. La première image du film sera associée au temps t1 = 1/p, la deuxième à t2 = 2/p, et ainsi de suite jusqu’à la dernière image du film, qui représente l’instant tnp = n.
  2. Supposons maintenant que l’on découpe chacune de ces np images en np bandes verticales. Nommons la position de la bande la plus à gauche x1, celle directement à sa droite x2, et ainsi de suite, jusqu’à xnp. Vous aurez compris que x est une coordonnée spatiale, qui représente l’axe horizontal des images fixes, alors que t est la coordonnée temporelle du film. L’idée de TX-Transform est d’inverser ces deux axes.
  3. Vous conviendrez qu’il existe np bandes différentes partageant la coordonnées spatiale x1, une pour chaque capture temporelle. De manière analogue, il existe np bandes différentes partageant la coordonnée temporelle t1, une pour chaque position. À ce stade, il peut aider d’identifier chaque bande de manière distincte. Considérons donc Bxt, la bande qui occupe la position x à l’instant t. TX-Transform applique à chacune de ces bandes la transformation Bxt → Btx.
  4. Finalement, il s’agit de considérer le résultat de la transformation comme un nouveau film. La figure 2 reprend notre exemple à trois plans, et permet de visualiser la simplicité de l’opération Bxt → Btx, qui résume à elle-seule le procédé.

Fig. 2 — Transformation TX-Transform d’un film à trois plans, représenté en tant que transformation Bxt → Btx

Observations et réflexions

Sur les effets visuels observés

Les films qui subissent la transformation TX-Transform répondent à de nouvelles règles, contre intuitives, puisque l’emphase n’est plus mise sur les animations ayant réellement eu lieu. Ce qui paraît s’animer, ce sont les variations entre l’objet filmé et son entourage, même si l’objet filmé est immobile. Il faut donc faire attention, pendant le tournage, aux variations dans le décor. Ces pourquoi, dans le film donné en exemple ci-haut, on a choisi un décor uniforme noir, ce qui permet de mettre l’emphase sur le personnage. «When the image is darker on the left side than the right during shooting, the transformed image will be dark at the beginning and lighter at the end. If this effect is not intended, the lighting should be as even as possible.» explique Reinhart.

Un autre effet est que les personnages semblent toujours regarder vers la gauche: «They are not facing left; they are facing « before. » tx-transformations are time-images. Left is « before, » and right is « after. » Regardless of the direction in which you move, the nose always arrives first….» explique Reinhart.

Il est possible de supprimer l’apparente animation des objets immobiles: il suffit de déplacer la caméra vers la droite, à la bonne vitesse, lors du tournage. Cette vitesse doit être égale à d/n, où d est la largeur du plan et n est la durée du film. Un «traveling» à cette vitesse permettra de distinguer tous les objets immobiles dans le film transformé. Cela créera des effets visuels intéressants pour tous les objets en mouvement. Notamment, comme en relativité restreinte, les objets se déplaçant rapidement sembleront se contracter!

Sur la continuité horizontale des images

Vous avez probablement remarqué, sur les figures 1 et 2, que notre petit film de trois images, transformé, ne donne pas des images continues. En fait, plus le nombre d’images qui compose le film est grand, plus les bandes seront minces, et plus les images finales paraîtront continues, ou «spatialement fluides». Pour accroître le nombre d’images, on peut s’y prendre de deux manières: augmenter la «résolution» du film initial en augmentant le nombre d’images par secondes capturées par la caméra; ou en allongeant simplement la durée du film. La durée du film initial influencera donc l’apparence visuelle de sa transformation.

Cela étant, la question ne se poserait pas si nos caméras parvenaient à capturer, ou du moins à convertir, un film en une animation continue, composée d’un nombre arbitrairement élevé, pour ne pas dire infini, d’images par seconde. Ces films seraient découpées en bandes de largeur infinitésimales, et peu importe leur durée, leur transformation engendreraient des images continues. Ce qui m’amène au point suivant.

Sur la représentation tridimensionnelle d’un film

Considérons un film «continu», composé d’un nombre arbitrairement grand d’images. Il suit que le film peut être représenté comme un espace continu à trois dimensions: les deux axes spatiaux, x et y, de chaque image, et un troisième axe, t, qui représente le temps (fig. 3). Les théoriciens de la visualisation cinématographique appellent de telles représenations des «volumes spatio-temporels» (STV).

Fig. 3 — L’espace tridimensionnel d’un film. Seuls le premier et le dernier plan ont été représentés.

L’inversion des axes du temps et de l’espace d’un film «continu» pourrait se faire par une simple rotation de 90 degrés de ce volume. On peut aussi voir une telle transformation comme le déplacement du point de vue du spectateur, qui cesse pour la première fois de contempler le plan xy, et se permet d’aller voir ce qui se passe sur la face ty du volume que forme l’espace filmique. Cette représentation tridimensionnelle permet donc de visualiser simultanément l’entièreté de l’information du film, sous l’angle que l’on veut.

Conclusion

La grande question, il me semble, est de savoir si le procédé peut avoir une véritable utilisation, au-delà de son attrait esthétique. Reinhart et Vidrich soutiennent que le procédé pourrait être utilisé en laboratoire pour visualiser des expériences dans lesquelles l’écoulement du temps n’a aucune importance. Cela semble peu appuyé, et paraît plutôt être une tentative de «glorifier» l’art par la science.

Qu’en pensez-vous? Je crois pour ma part que ce procédé a une utilité réelle, qui réside précisément dans la gymnastique intellectuelle nécessaire à sa compréhension. Le procédé nous demande de réfléchir à des notions communes, le temps et l’espace, d’une manière totalement nouvelle. J’attends impatiemment le jour où de tels exercices d’abstraction seront présentés aux élèves du secondaire!

22 octobre 2008

Immersion: de la quatrième dimension à la troisième, en passant par le Web

Bouteille de Klein

Le 20 août 2003, Clifford Stoll terminait sa plus ambitieuse création: une bouteille de vitre d’un mètre de haut, le fruit de deux années de préparation et de travail. Pas facile de souffler une bouteille qui n’a aucun volume et n’a qu’un seul côté.

Ces 15 kg de verre forment une bouteille de Klein, ou plus précisément l’immersion tridimensionnelle d’une bouteille de Klein, un objet mathématique qui n’existe que dans un espace à quatre dimensions et qui possède des propriétés étonnantes. Comme le dit lui-même Clifford Stoll, « Cela chatouille les topologistes et amuse les visiteurs ».

Père au foyer et résident d’Oakland, Californie, Clifford Stoll souffle des bouteilles de Klein et les vends sur le Web depuis 1996. En plus d’avoir un volume nul, les bouteilles de Klein ont la propriété de n’avoir qu’un seul côté. Autrement dit, il est impossible de définir une frontière entre un intérieur et un extérieur. Une fourmi pourrait se promener sur toute la surface sans jamais devoir franchir le rebord de la vitre. En fait, si on découpe l’objet en suivant une certaine trajectoire, on obtient deux bandes de Möbius, cette fameuse surface fermée qui a notamment inspiré le logo universel des matériaux recyclables.

De son côté, Alan Bennett, un verrier anglais, commence à souffler des bouteilles de Klein en 1995. Bennett a choisi de pousser l’expérience un cran plus loin que ne l’a fait Stoll, se donnant l’objectif d’obtenir des bouteilles qui peuvent se découper en trois bandes de Möbius.

Tenez-vous bien: il y parvient. Le résultat, une bouteille qui s’auto-intersecte trois fois, sera nommé « Vaisseau d’Ouslam », en l’honneur, nous apprend Bennett, d’un « oiseau mythologique qui tourne en rond en traçant des cercles de plus en plus petits, jusqu’à ce qu’il disparaisse dans son propre derrière ».

Clifford Stoll ne fait pas que souffler du verre sur sa propriété d’Oakland. Astrophysicien de formation, il s’est rendu célèbre dans les années 1980 pour être parvenu à piéger Markus Hess, un pirate informatique allemand employé par le KGB pour espionner le gouvernement américain.

Clifford Stoll travaille à cette époque comme administrateur du système informatique du Lawrence Berkeley Laboratory. Alors qu’il tente de résoudre un problème informatique, il détecte une présence suspecte dans le réseau. Que faire?

C’est en prenant leur douche que Clifford Stoll et sa femme élaborent une stratégie qui mènera à l’arrestation du pirate. Leur ruse: inclure sur le réseau du laboratoire une série de faux documents militaires et localiser l’intru alors qu’il tente de les consulter.

Cette tactique sera nommée « Operation Showerhead ».

Dix ans plus tard, en plein boom d’Internet, alors qu’autour de lui s’enrichissent toute une génération de jeunes informaticiens californiens, Clifford Stoll commence à vendre des bouteilles de Klein pour arrondir ses fins de mois.

C’est à cette époque qu’il remet publiquement en question, notamment à travers son livre Silicon Snake Oil, le rôle bénéfique d’Internet pour les sociétés futures. Dans The Internet? Bah!, un article publié en 1995 dans Newsweek, il se montre même sceptique vis-à-vis des promesses du Web de pouvoir transformer les habitudes des consommateurs.

S’il était sceptique en 1995 que les consommateurs allaiant vraiment acheter des livres et des journaux en ligne, il doit aujourd’hui reconnaître qu’il est possible d’y acheter pratiquement n’importe quoi: des livres, des journaux… et même des immersions 3D de bouteilles à quatre dimensions.