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15 juillet 2009

L’aire des rectangles – Épisode 2: La constance du ratio

Ce billet fait suite à la discussion entamée ici autour de la fascinante question qu’est l’aire des rectangles à diagonale fixe.

Dans les commentaires du précédent billet sur cette question hautement sous-exploitée dans les médias traditionnels qu’est l’aire des rectangles, Francis soutient, de «source sûre», que «pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu’un écran traditionnel (4:3).». Or cette source, tout autant sûre qu’elle soit, n’a pas été en mesure de lui faire la preuve que ce pourcentage sera constant peut importe la valeur de la diagonale en question.

Voici donc une explication en bonne et due forme.

Considérons toujours un rectangle de dimensions a x b, de diagonale d et d’aire A. Explicitons l’aire de deux rectangles dont le ratio des côtés sont respectivement 16:9 et 4:3. On a donc, pour chacun des rectangle :

\frac{b_1}{a_1} = \frac{16}{9}

\frac{b_2}{a_2} = \frac{4}{3}

D’où

b_1= \frac{16}{9}a_1

b_2= \frac{4}{3}a_2

L’aire du rectangle 1 est donc

A_1 = a_1 b_1

= \frac{16}{9}a_1^2

et celle du rectangle 2 est

A_2 = \frac{4}{3}a_2^2

Le ratio entre les deux aires est

\frac{A_2}{A_1} = \frac{\frac{4}{3}a_2^2}{\frac{16}{9}a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

Maintenant, on sait que la diagonale est la même entre les deux rectangles, donc, du théorême de Pythagore, ont peut dire que:

a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2

En utilisant les ratios propre à chacun des rectangles, et en substituant pour b, on a:

a_1^2 + (\frac{16}{9}a_1)^2 = a_2^2 + (\frac{4}{3}a_2)^2

Que l’on peut réduire à:

\frac{337}{81}a_1^2 = \frac{25}{9}a_2^2

a_1^2 = \frac{225}{337}a_2^2

On peut maintenant reprendre notre ratio \frac{A_2}{A_1} et substituer pour a_1^2:

\frac{A_2}{A_1} = \frac{3a_2^2}{4a_1^2}

= \frac{3a_2^2}{4(\frac{225}{337}a_2^2)}

= \frac{3*337}{4*225}

= \frac{1011}{900}

= 112.33 \%

L’aire de l’écran 4:3 est donc 12,3% plus grande que l’aire de l’écran 16:9. Et, pour être tout à fait rigoureux, l’écran 16:9 est non pas 12,3% mais bien 9,98% plus petite que l’écran 4:3. Peu importe comment on présente le résultat, il demeure que dans tous les cas, ce pourcentage ne dépend pas de la largeur de la diagonale (ce n’est pas surprenant: un rectangle est un rectangle, qu’il soit grand ou petit). QED.



1 Comment

Merci pour la démonstration. Qui aurait cru que les mathématiques pouvaient servir à quelque chose!

Posted by Francis on 16 juillet 2009 @ 10

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