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Infogramme est le site de Vincent Audette-Chapdelaine.

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14 juillet 2009

L’aire des rectangles

De retour de voyage, un message m’attend:

(bip bip…) Allo Vincent, c’est Sylvain.

Je sais que tu es à Seattle, mais c’est pas grave, tu me répondras quand tu reviendras. Je suis chez Francis et on a une question existentielle d’ordre mathématique. Quand on a un écran qu’on mesure en nombre de pouces et qu’on calcule la diagonale, si l’écran est rectangle plutôt que carré, est-ce que ça implique que plus l’écran est rectangle, plus il a une petite aire pour une même diagonale, parce qu’un carré aurait une plus grande aire pour une même diagonale?

Voilà, c’est une question élémentaire de mathématique, mais on ne connaît pas la réponse et on se disait que tu la connaîtrais sûrement. À ton retour de Seattle, j’espère que ça sera ta première priorité de répondre à notre question.

Merci et j’espère que tu passe un bon voyage.

Bye bye. (bip bip…)

Salut Sylvain,

Merci pour ta question, qui s’est aussitôt imposée comme étant mon unique centre d’intérêt depuis mon arrivée de l’aéroport, il y a deux jours.

Je comprends tout à fait d’où peuvent provenir vos interrogations, à Francis et toi. L’achat d’un écran est un événement important que l’on gagne à soigneusement préparer. Il est tout à fait louable de vouloir connaître la surface véritable qu’un écran occupe, indépendamment de sa «diagonale», une donnée qui n’évoque absolument rien dans notre imagination. Tout comme vous, je préférerais grandement acheter mes écrans au mètre carré.

Voici ma réponse:

Soit un rectangle de dimensions a par b et de diagonale d. D’après le théorême de Pythagore, on sait que

d^2 = a^2 + b^2

et donc que

 a = \sqrt{d^2 - b^2}

L’aire du rectangle est

A = ba

En substituant pour a, on obtient

A = b \sqrt{d^2 - b^2}

On peut déjà voir, dans cette équation, que l’aire ne dépend pas que de la diagonale, mais bien aussi de la longueur des côtés. Afin d’avoir une meilleure idée de ce comportement, on peut dresser un graphique de la fonction A(b).

Voici donc l’aire du rectangle (ordonnée) en fonction de la longueur du côté b (abscisse) pour une diagonale fixe.

Aire en fonction de la longueur d'un côté, pour une diagonale fixe

On peut voir sur ce graphique que l’aire sera maximale lorsque b = a, donc lorsque l’écran sera un carré. Pour répondre à la question, plus le rectangle est rectangle, (donc plus | a - b | est élevé), plus son aire sera petite.

D’après le graphique, on peut voir que, étrangement, lorsque b augmente par rapport à a, son aire diminue plus rapidement que lorsque b diminue par rapport à a. Pourtant, a et b devraient être complètement interchangeables dans nos équations et sur le graphique. Comment expliquer cette apparente asymétrie?



5 Comments

Hahaha, je m’attendais à une réponse très professionnelle mais tu as réussis à la faire encore plus professionnelle que je m’y attendais! Une introduction amusante, un développement clair et rigoureux puis une question ouverte en conclusion; tout ça sur un ton pédagogique et juste assez infantilisant pour se sentir autant cajolés que respectés… Génial! Merci bien.

Pour ta question en fin d’article, je conçois intuitivement que l’aire doit diminuer plus rapidement lorsque c’est le côté le plus long qui se rabat pour maintenir la même diagonale en allongeant mais je ne réussis pas à l’expliquer mathématiquement… En effet, pourquoi ce graphique n’est-il pas une parabole inversée parfaite? Je veux la réponse! Le suspense est insoutenable…

Il faudra se faire un party de mesurage d’écrans et de racontage d’histoires de Seattle!

Posted by Sylvain on 14 juillet 2009 @ 9

Une source hautement fiable m'a informé que pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu'un écran traditionnel (4:3).

À noter que contrairement aux écrans des téléviseurs haute définition, ceux des ordinateurs sont souvent en format 16:10, la différence d'aire par rapport avec un écran traditionnel étant donc moins marquée (-6,8%).

Je souhaiterais une démonstration mathématique de la constance de ces pourcentages…!

Posted by Francis on 15 juillet 2009 @ 12

Tu souhaiterais une démonstration mathématique? C'est chose faite! http://www.infogramme.org/index.php/2009/07/

Posted by VincentAC on 15 juillet 2009 @ 7

[…] […]

Posted by ;info · L’aire des rectangles – Épisode 2: La constance du ratio on 15 juillet 2009 @ 2

Une source hautement fiable m'a informé que pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu'un écran traditionnel (4:3).

À noter que contrairement aux écrans des téléviseurs haute définition, ceux des ordinateurs sont souvent en format 16:10, la différence d'aire par rapport avec un écran traditionnel étant donc moins marquée (-6,8%).

Je souhaiterais une démonstration mathématique de la constance de ces pourcentages…!

Posted by Francis on 15 juillet 2009 @ 4

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